Aplikasi Turunan (Garis Singgung & Optimasi)

Pengertian Aplikasi Turunan (Garis Singgung & Optimasi)

1. Pengertian Aplikasi Turunan

    Aplikasi turunan merupakan suatu konsep matematika pengukuran atas bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan nilai input atau secara umum turunan menunjukkan tentang bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lain. Dalam proses menemukan turunan disebut dengan diferensiasi. Turunan memiliki beberapa model yaitu, turunan pertama, turunan kedua dan sampai dengan turunan fungsi trigonometri.

A. Turunan Pertama
Misalnya, y adalah fungsi dari x atau dapat ditulis juga bahwa y = f (x). Sehingga turunan dari y terhadap x dinotasikan dengan konsep rumus dibawah ini :

                                        
Dengan memanfaatkan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus turunan yang meliputi :

1. Jika diketahui y = Cxn dimana C & juga n merupakan suatu bentuk konstanta real, maka dy : dx = Cnxn – 1
2. Jika diketahui y = C dan C merupakan elemen R maka dy : dx = 0
3. Untuk y = f (x) + g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x + g aksen sehingga x atau dalam rumus = f’(x) + g’ (x)
4. Untuk y = f (x) . g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x . g sehingga x + g aksen sehingga x . f sehingga x atau dalam rumus f’ (x) . g (x) + g’ (x) . f (x)

B. Turunan Kedua

Turunan kedua dari y = f (x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut ini :

                                                         

Turunan kedua dari aplikasi turunan merupakan bentuk turunan yang didapatkan dengan menurunkan kembali turunan yang pertama. Anda dapat memperhatikan contoh di bawah ini :

                                                     

Turunan kedua ini juga bisa digunakan antaranya untuk keperluan :

1. Penentuan gradient garis singgung suatu kurva

2. Penentuan apakah suatu interval akan naik atau turun

3. Penentuan nilai maksimum dan nilai minimum suatu kurva

C. Turunan Trigonometri

1. Pengertian Turunan Trigonometri

Turunan trigonometri adalah turunan dari fungsi sinus dan kosinus yang didapatkan dari konsep limit atau persamaan turunan yang nantinya perlu melibatkan fungsi – fungsi trigonometri. Diantaranya seperti sin, cos, tan, cot sec, dan csc. Anda harus tahu pola di bawah ini tentang turunan trigonometri :

Jika y = sin x maka y’ = cos x dan Jika y = cos x maka y’ = -sin x

2. Rumus Turunan Fungsi Trigonometri




2. Pengertian Garis Singgung dan Optimasi 

2.1. Pengertian Garis Singgung

       Dalam geometri, garis singgung (disebut juga garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut. Leibniz mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik takhingga dekat pada kurva. Lebih tepatnya, garis lurus disebut menyinggung kurva y = f (x) di titik x = c pada kurva jika garis melalui titik (c, f (c)) pada kurva dan memiliki kemiringan f '(c) dengan f ' adalah turunan f. Definisi serupa digunakan pada kurva ruang dan kurva dalam ruang Euklides dimensi-n. Karena melalui titik di mana garis singgung dan kurva bertemu, disebut titik singgung, garis singgung "memiliki arah yang sama" dengan kurva, dan dengan demikian merupakan pendekatan garis lurus terbaik pada kurva di titik tersebut. Serupa dengan garis singgung, bidang singgung permukaan di titik yang diketahui adalah bidang yang "hanya menyentuh" permukaan di titik tersebut. Konsep persinggungan adalah satu dari gagasan paling mendasar dalam geometri diferensial dan telah digeneralisasikan secara ekstensif; lihat ruang singgung.

SEJARAH

   Euklides membuat sejumlah referensi garis singgung (ἐφαπτομένη ephaptoménē) lingkaran dalam buku ke-III Elements (c. 300 SM). Dalam karya Apollonius Conics (c. 225 SM), ia mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang tidak ada garis lurus lain berada di antara garis itu dan kurva. Archimedes (c.  287 – c.  212 SM) menemukan garis singgung pada spiral Archimedes dengan mempertimbangkan jalur perpindahan titik sepanjang kurva. Pada tahun 1630-an, Fermat mengembangkan teknik adekualitas untuk menghitung garis singgung dan masalah lainnya dalam analisis serta menghitung garis singgung parabola. Teknik adekualitas serupa dengan mengambil perbedaan antara {\displaystyle f(x+h)} dan {\displaystyle f(x)} serta membaginya dengan pangkat dua dari {\displaystyle h}. Secara terpisah, Descartes menggunakan metode tegak lurus berdasarkan pada observasi bahwa radius lingkaran selalu tegak lurus dengan lingkaran itu sendiri. Metode ini mengantarkan pada pengembangan kalkulus diferensial pada abad ke-17. Banyak orang berkontribusi di dalamnya. Roberval menemukan metode umum untuk menggambar garis singgung, mempertimbangkan sebuah kurva didefinisikan sebagai titik bergerak yang gerakannya merupakan resultan dari berbagai gerakan lebih sederhana. René-François de Sluse dan Johannes Hudde menemukan algoritme aljabar untuk mencari garis singgung. Perkembangan lebih lanjut meliputi John Wallis dan Isaac Barrow, membawa pada teori Isaac Newton dan Gottfried Leibniz. Sebuah definisi garis singgung pada tahun 1828 adalah "garis yang benar dengan menyentuh kurva, tetapi ketika diperpanjang, tidak memotong kurva tersebut". Definisi tua ini mencegah titik belok memiliki garis singgung. Definisi ini telah ditolak dan definisi modern sama dengan definisi Leibniz yang mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik takhingga dekat pada kurva.

2.2. Pengertian Optimasi

Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di bawah keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Optimasi dapat diartikan sebagai aktivitas untuk mendapatkan nilai minimum suatu fungsi karena untuk mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat dilakukan dengan mencari minimum dari negatif fungsi yang sama.

Aplikasi turunan terdiri berdasarkan dari :
1. Nilai Maksimum : nilai f' terbesar yang dimiliki suatu fungsi f pada suatu titik tertentu dari daerah asal.
2. Nilai Minimum : jika f' terkecil yang dimiliki suatu fungsi f pada suatu titik tertentu dari daerah asal.
3. Nilai Ekstrim : jika f' merupakan suatu nilai minum atau nilai maksimum.


Ada beberapa teorema – teorema yang harus kita kita ketahui berkenaan dengan nilai maksimum, nilai minimum ataupun nilai ekstrim, adapun teorema tersebut adalah sebagai berikut :

1. Teorema Eksistensi Maksimum Minimum
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.
Teorema ini menyatakan bahwa suatu f akan memiliki nilai maksimum dan minimum jika f tersebut kontinu dan himpunan daerah asal berupa selang tertutup.

2. Teori Titik KritisAndaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu:
a. Titik ujung dari I
b. Titik stasioner dari f (f’(c)=0)
c. Titik Singulardari f (f’(c) tidak ada)

Teorema ini menyatakan bahwa suatu titik ekstrim sudah pasti adalah titik kritis. Dimana titik kritis dapat berupa salah satu dari:
a. Titik ujung suatu interval/selang
b. Titik stasioner yaitu sebuah titik dimana f’ sama dengan nol
c. Titik singular yaitu sebuah titik dimana f’ tidak ditemukan

Langkah-langkah untuk mencar i nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut:
a. Turunkan fungsi f
b. Cari titik kritis dengan mencari titik stasioner (f’=0)

c. Memasukan nilai kritis ke fungsi awal

Kemonotonan dan Kecekungan

1. Turunan pertama dan Kemonotonan
Untuk memahami fungsi naik dan fungsi turun, coba kalian ingat dalam bahasa sehari-hari yang disebut kata “naik” dan kata “turun”. Kata “naik” adalah perubahan yang terjadi dari bawah ke atas, sedangkan kata “turun” adalah perubahan dari atas ke bawah. Suatu fungsi dapat dikatakan naik atau turun, harus memenuhi syarat-syarat yang telah ditentukan. Untuk lebih jelasnya perhatikan teorema berikut.

a. Teorema Kemonotonan

Andaikan f kontinu pada selang I dapat di deferensialkan pada setiap titik dalam dari I,

1. Jika f’(x)>0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
2. Jika f’(x)<0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I
3. Turunan kedua dan kecekungan

b. Teorema Kecekungan

Andaikan f terdeferensialkan dua kali pada selang terbuka (a,b)

1. f”(x)>0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas
2. f”(x)<0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung kebawah

c. Titik Balik Maksimum dan Minimum
Misalkan kurva y = f(x) dapat diturunkan dua kali pada interval I,maka

1. f(x) adalah nilai balik maksimum , jika f’(x)<0 dan f”(x)>0
2. f(x) adalah nilai balik minimum, jika f’(x)>0 dan f”(x)<0
3. f(x) adalah nilai belok horizontal, jika f’(x)=0, f”(x)=0 tapi f’”(x)≠0

Nilai Maksimum dan Minimum Lokal

                                              Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c.

Kita katakan bahwa:
1. f (c)nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c demikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) bagian S

2. f (c)nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c demikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) bagian S

Bahan Materi :

https://www.belajarpedia.co.id/aplikasi-turunan/

https://ayaeuy.wordpress.com/2009/03/14/aplikasi-turunan/

http://repository.usu.ac.id/bitstream/handle/123456789/62997/Chapter%20II.pdf?sequence=3&isAllowed=y

https://id.wikipedia.org/wiki/Garis_singgung