Turunan Fungsi Implisit

Pengertian Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika, sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel tak bebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

${\displaystyle y=f(x)}$

Sebaliknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan memecahkan persamaan dalam bentuk:

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, tetapi kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y dikatakan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan:

${\displaystyle R(x,f(x))=0}$

untuk semua x∈X, dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X × Y.

Fungsi implisit sering berguna dalam keadaan yang tidak memudahkan buat memecahkan persamaan dalam bentuk R(x,y) = 0 untuk y yang dinyatakan dalam x. Bahkan bila memungkinkan untuk menyusun ulang persamaan ini untuk memperoleh y sebagai fungsi eksplisit f(x), hal ini boleh jadi tidak diinginkan, karena pernyataan f jauh lebih rumit dari pernyataan R. Dalam keadaan lain, persamaan R(x,y) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan suatu fungsi sama sekali, dan sebenarnya mendefinisikan fungsi bernilai ganda. Bagaimanapun, dalam banyak keadaan, bekerja dengan fungsi implisit masih dimungkinkan. Beberapa teknik dari kalkulus, seperti turunan, dapat dilakukan dengan relatif mudah menggunakan fungsi implisit.

Dalam tulisan ini, kita akan belajar menentukan fungsi turunan implisit. Saat membaca tulisan ini, kita tentu saja mahir menentukan turunan fungsi yang disetujui secara eksplisit. Misalnya,

$$y = 4x ^ 2 + x , dengan turunan$$\ frac {dy} {dx} = 8x + 1 . Namun, coba ikuti fungsi berikut ini.

Sebagai fungsi implisit dari x. Tapi ternyata persamaan di atas bisa diselesaikan sehingga menjadi x eksplisit.

Nilai dari $\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}$dapat dicari dengan menggunakan aturan pembagian.

Turunan fungsi di atas dapat dibuka dengan disetujui Menjadi fungsi dalam bentuk eksplisit. Tapi, tidak semua fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Misalnya fungsi

Karena fungsi ini, maka kita perlu mempelajari turunan dari fungsi yang ditentukan implisit. Sesuai namanya, proses menunjuk turunan fungsi disebut turunan implisit. Kita akan menentukan turunan dari fungsi di atas.

Pertama, ke kedua untuk ke atas $$x .

Jika diturunkan terhadap $$x , ekspresi aljabar yang memuji$$y tidak dapat dianggap sebagai konstanta, yang turunannya bernilai nol. Karena, sebelumnya telah dibicarakan bahwa y merupakan fungsi implisit dari x. Untuk itu, kita perlu menggunakan aturan rantai .

Atau secara operasional, jika mengungkapkan aljabar ini hanya sekedar pengumuman y, maka kita cukup menentukan turunannya terhadap y, kemudian mengalikannya dengan $\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}$. Turunan dar i$y\; ^\; 3-2y$ terhadap y adalah$3t\; ^\; 2-2$ , jadi turunannya terhadap x adalah$(3th\; ^\; 2-2)\; \backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}$. Dengan menentukan turunan dari suku lain, kita peroleh

Fungsi Implisit adalah secara umum dapat ditulis sebagai f(x,y) =0, dengan y sebagai fungsi dalam x . Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) yang disebut fungsi eksplisit, yaitu antara variabel bebas dan variabel tak bebasnya di tulisdalam ruas yang berbeda.Dengan sedikit usaha, kebanyakan mahasiswa akan mampu melihat bahwa grafik dari

Titik (2.1) terletak pada grafik, dan tampaknya terdapat sebuah garis singgung yang terumuskan dengan baik pada titik tersebut. Bagaimana kita mencari kemiringan garis singgung ini? Mudah, anda dapat menjawab : hitung saja dy/dx pada titik itu. Tetapi itulah ke sukaran nya, kita tidak tahu bagaimana mencari dy/dx dalam situasi ini. Elemen baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yang secara

terhadap x dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini, kita anggap bahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi x (hanya saja kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi setelah memakai aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh

Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk dy/dx  mencakup  x  dan y , suatu kenyataan yang sering menyusahkan. Tetapi kita hanya ingin mencari kemiringan pada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran.Di titik (2, 1)

Jadi kemiringan tersebut adalah 6/5

Dari hasil penggambaran di atas maka dapat di ambil suatu konklusi sebagai berikut.Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh :

1. Jika fungsi implisit {f(x,y) = 0}  dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah menjadi

 fungsi eksplisit y = f(x)  maka untuk mendapatkan dy/dx dengan mudah seperti cara yang biasa.

Jika fungsi implisit {f (x,y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi eksplisit maka perlu cara lain bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti contoh dibawah ini :

Bahan Materi :

https://www.kimiamath.com/post/turunan-fungsi-implisit

https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_implisit

https://www.academia.edu/37982159/Turunan_Fungsi_Implisit_dan_Turunan_Fungsi_Parameter

$$\ begin {aligned} \ frac {du} {dx} & = \ frac {du} {dy} \ cdot \ frac {dy} {dx} \\ & = (3th ^ 2-2) \ frac {dy} { dx} \ end {aligned}