Baris & Deret Dasar Matematika

Pengertian Barisan & Deret dalam Dasar Matematika

Barisan dalam matematika adalah suatu daftar tertata. Sebagaimana suatu himpunan, urutan memuat "anggota atau elemen" juga disebut sebagai suku atau istilah. Jumlah elemen tertata kemungkinan tidak terhingga disebut panjang urutan. Berbeda dengan himpunan, penataan urutan sangat penting dan elemen-elemen yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada posisi berbeda dalam urutan itu. Lebih tepatnya, suatu urutan dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi di mana ranah (atau domain) darinya merupakan suatu himpunan countable totally ordered, seperti bilangan asli.

Deret (bahasa Inggris: series) adalah jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms)dalam suatu urutan. Urutan dan deret finit(atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinite { a_n }, maka suatu deretsecara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a₁ + a₂ + a₃ + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol summation ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .}$

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Sifat dasar

DefinisiSunting

Untuk setiap urutan ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$.

Urutan jumlah parsial ${\displaystyle \{S_{k}\}}$ bersangkutan dengan suatu deret ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ didefinisikan bagi setiap ${\displaystyle k}$ sebagai jumlah urutan ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ dari ${\displaystyle a_{0}}$sampai ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.}$

Berdasarkan definisi, deret ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ convergesmenjadi suatu limit ${\displaystyle L}$ jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial ${\displaystyle \{S_{k}\}}$ converges menjadi ${\displaystyle L}$. Definisi ini biasanya ditulis sebagai

${\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.}$

Deret Fungsi

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam Esebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E. .

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

adalah deret Taylor ${\displaystyle e^{x}}$ pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

Barisan dan Deret dibagi 2 macam, yaitu :

Barisan dan deret ukur atau barisan dan deret geometri dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

${\displaystyle ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,}$

dengan r adalah bilangan rasio pengali (r ≠ 0) dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini, suku ke-n:

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

Jumlah semua suku:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}$ untuk r > 1, dan

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$ untuk r < 1.

Pembuktian

Suku ke-n (Barisan geometri)

${\displaystyle a_{1}=a}$

${\displaystyle a_{2}=a\,r^{1}}$

${\displaystyle a_{3}=a\,r^{2}}$

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

jadi barisan geometri adalah ${\displaystyle a,a\,r^{1},a\,r^{2},...,a\,r^{n-1}}$

Jumlah suku ke-n (Deret geometri)

${\displaystyle s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}}$.... (1)

${\displaystyle s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}}$... (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

${\displaystyle s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}}$

${\displaystyle s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}$

Deret geometri tak terhingga

${\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}$ untuk -1 < r < 1 di mana ${\displaystyle n}$adalah ${\displaystyle \infty }$ serta ${\displaystyle r^{n}}$ adalah 0.

Deret geometri ganjil dan genap

${\displaystyle s_{n}={\frac {a}{1-r^{2}}}}$ untuk bilangan ganjil.

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,r}{1-r^{2}}}}$ untuk bilangan genap.

Rumus umum

1. ${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

$${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}$$

untuk r < 1

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(r^{n}-1)}{r-1}}}$ untuk r > 1

${\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}$ untuk -1 < r < 1

${\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}$

${\displaystyle u_{t}={\sqrt {a\,{a_{n}}}}}$

${\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}$

${\displaystyle r_{b}=r^{\frac {1}{x+1}}}$

Barisan dan deret hitung atau barisan dan deret aritmetika dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret bilangan dan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..... Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

${\displaystyle a,a+b,a+2b,a+3b,...}$

Dalam hal ini suku ke-n:

${\displaystyle \ a_{n}=a+(n-1)b,}$

Jumlah semua suku:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].}$

Pembuktian

Suku ke-n (Barisan aritmetika)

${\displaystyle a_{1}=a}$

${\displaystyle a_{2}=a+b}$

${\displaystyle a_{3}=a+2b}$

${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b}$

jadi barisan aritmetika adalah ${\displaystyle a,[a+b],[a+2b],...,[a+(n-1)b]}$

Jumlah suku ke-n (Deret aritmetika)

${\displaystyle s_{n}=a+a+b+a+2b+....+a+(n-1)b}$.... (1)

${\displaystyle s_{n}=a+(n-1)b+a+(n-2)b+a+(n-3)b+....+a+2b+a+b+a}$... (2) dibalik dengan cara cermin

persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

karena  sama banyaknya menjadi jumlah 

${\displaystyle 2s_{n}=n[2a+(n-1)b]}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]}$

Rumus umum

${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]}$

${\displaystyle b=a_{n}-a_{n-1}}$

${\displaystyle u_{t}={\frac {a+{a_{n}}}{2}}}$

${\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}$

${\displaystyle b_{b}={\frac {b}{x+1}}}$

Jika terjadi beda bertingkat sebagai berikut

${\displaystyle A_{n}=A+{\frac {(n-1)}{1!}}B+{\frac {(n-2)(n-1)}{2!}}C+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)}{3!}}D+dst}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{1!}}A+{\frac {n(n-1)}{2!}}B+{\frac {n(n-2)(n-1)}{3!}}C+{\frac {n(n-3)(n-2)(n-1)}{4!}}D+dst}$

Bahan Materi yang diambil : 

https://id.m.wikipedia.org/wiki/Barisan_dan_deret_geometri

https://id.m.wikipedia.org/wiki/Barisan_dan_deret_aritmetika