Elemen & Himpunan Matematika

Pengertian Elemen dalam Matematika

Loncat ke navigasi

Elemen atau disebut dengan anggota merupakan dari suatu himpunan dalam matematika yang terdiri dari objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan tersebut.
Elemen dibagi beberapa macam :
1. Bilangan Bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah atau disebut dengan bilangan bulat netral). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

2. Bilangan Pecahan (Fraksi) adalah istilah dalam matematika yang terdiri dari pembilang dan penyebut (sering disebut sebagai hasil pembagian / rasio dari dua bilangan bulat). Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama
Contohnya:
1.Bilangan pecahan positif = ½, ¾ (bilangan pecahan biasa), 0,66, 0,75, (bilangan desimal) & 2 2/3 , 4 2/8 (bilangan campuran)
2.Bilangan pecahan negatif = -1/2, -2/3, -3/4, -0,66, -0,75, dst.

3. Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. di mana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞). Bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Contoh :
1. 2. 3. 4.

4. Bilangan Irasional adalah bilangan rill yang tidak bisa dibagi atau tidak dapat dinyatakan bilangan pecahan, hasil baginya tidak pernah berhenti. Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional.
Contoh :
1. Nilai dari π = 3.14159
2. Nilai dari =1,41423

5. Bilangan Rill merupakan gabungan dari bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan rasional, serta bilangan irasional. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind dan deret Archimedes. Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks (bilangan yang dinotasikan oleh , di mana a dan b adalah bilangan rill dan i adalah suatu bilangan imajiner di mana i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian rill dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil. Namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian bilangan kompleks ditulis a + bj.) yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner (bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik : atau secara ekuivalen atau juga sering dituliskan sebagai ).

Pengertian Himpunan dalam Matematika

Himpunan adalah kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn.

Teori Himpunan yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

1. Notasi Himpunan

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	${\displaystyle S}$
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	${\displaystyle a}$
Kelas	Huruf tulisan tangan	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
${\displaystyle \{\}}$ atau ${\displaystyle \varnothing }$	Himpunan kosong
${\displaystyle \cup }$	Operasi gabungan dua himpunan
${\displaystyle \cap }$	Operasi irisan dua himpunan
${\displaystyle \subseteq }$, ${\displaystyle \subset }$, ${\displaystyle \supseteq }$, ${\displaystyle \supset }$	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
${\displaystyle A^{C}}$	Komplemen
${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

• Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

${\displaystyle B=\{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}}$

${\displaystyle A=\{a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}}$

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}}$

• Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

${\displaystyle O=\{u\,|\,u{\mbox{ adalah bilangan ganjil}}\}}$

${\displaystyle E=\{x\,|\,x\in \mathbb {Z} \land (x{\mbox{ mod }}2=0)\}}$

${\displaystyle P=\{p\,|\,p{\mbox{adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI}}\}}$

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

${\displaystyle A=\{x\,|\,x\notin A\}}$

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

2. Himpunan Kosong mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong. Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai : 

3. Relasi antar Himpunan
Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}

{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan :B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A. Untuk sembarang himpunan A, Definisi di ini juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri. Untuk sembarang himpunan A,  Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya. Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

4. Operasi dasar Himpunan dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu :

a. Gabungan

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan A ∪ B setara dengan A atau B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

• A ∪ B = B ∪ A.
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
• A ⊆ (A ∪ B).
• A ∪ A = A.
• A ∪ ∅ = A.
• A ⊆ B jika dan hanya jika A ∪ B = B.

b. Irisan

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {Budi, Cici} ∩ {Dani, Cici} = {Cici}.
• {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

• A ∩ B = B ∩ A.

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
• A ∩ B ⊆ A.
• A ∩ A = A.
• A ∩ ∅ = ∅.
• A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.

c. Komplemen

Operasi pelengkap A^C setara dengan bukan A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

• A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.
• A ∪ A′ = U.
• A ∩ A′ = ∅.
• (A′)′ = A.
• A \ A = ∅.
• U′ = ∅ dan ∅′ = U.
• A \ B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$

Contohnya, diferensi simetris antara:

• {7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.
• {Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.

bahan materi yang diambil :

https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)

https://id.wikipedia.org/wiki/Elemen_(matematika)

https://ddp.esaunggul.ac.id/