Turunan Fungsi dalam 1 Variabel

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

• 
• ${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$
• ${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}$
• ${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x\,}$

• ${\displaystyle y'}$ adalah simbol untuk turunan pertama.
• ${\displaystyle y''}$ adalah simbol untuk turunan kedua.
• ${\displaystyle y'''}$ adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain ${\displaystyle y'\,}$ dan ${\displaystyle y''\,}$ adalah ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}$ dan ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}$

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727), ahli matematika dan fisika bangsa inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Konsep turunan fungsi secara universal banyak sekali digunakan dalam bidang ekonomi untuk menghitung biaya marjinal, biaya total atau total penerimaan, dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi dan sosiologi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi. Fungsi (a primitive function)  :   y = f (x)  

Kemudian, nilai fungsi atau dependent variable  y  berubah dari  y0 =      f (x0)  ke y1 =  f (x1), karena nilai independent variable  x  berubah dari  x0 ke x1.  Maka timbul  :      ∆y/∆x   yaitu perubahan pada varabel  y  karena perubahan per unit atau 1 unit pada variabel  x  (the change in  y  per unit of change in  x), yang dinyatakan dengan istilah the difference quotient : 

Aturan Menentukan Turunan Fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

• Turunan Dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat: Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta: (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai: ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

• Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, (g (x) ≠ 0 pada I) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)²)

• Turunan Fungsi Trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = - sin x
3. d/dx ( tan x ) = sec² x
4. d/dx ( cot x ) = - csc² x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

• Turunan Fungsi Invers = (f^-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Bahan Materi :

https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan

https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_fungsi#Turunan_dasar

file:///D:/Intan/Matematika/MODUL%205%20-%20Turunan%20Fungsi.pdf